Трапеция — геометрическая фигура, две противоположных стороны которой параллельны, а две других не параллельны. На рисунке трапеция изображается таким способом, чтобы параллельными оказались нижняя и верхняя стороны, которые получили название «основания». Верхняя сторона короче нижней. Такой рисунок используется для наглядности, так легче понять, как выполнять дополнительные построения, необходимые для решения задач.

Боковые стороны могут быть расположены под произвольными углами к основаниям. Если одна из сторон перпендикулярна основанию, то трапецию называют прямоугольной. При равных боковых сторонах — равнобедренной.

Важные линии трапеции

Для решения задачи нахождения площади трапеции необходимо использовать ряд линий, так или иначе характеризующих трапецию. Это высота, диагональ и средняя линия.

Высота — перпендикулярный отрезок, соединяющий верхнее и нижнее основание. На рисунках принято проводить перпендикуляр из вершины угла, чтобы не загромождать схему. Но на практике высоту можно опускать с любой точки верхнего основания.

Диагональ — отрезок, соединяющий противоположные вершины трапеции. У каждой трапеции две диагонали, разбивающие фигуру на два равных треугольника.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Длина линии равна половине суммы длин оснований.

Вторая средняя линия — отрезок, соединяющий середины оснований. У равнобедренной трапеции совпадает с высотой.

Названные линии используются при вычислении площади трапеции. Это одна из геометрических фигур, площадь которой можно найти разными способами. Почему нужно знать все формулы, как найти площадь трапеции? В условиях задач часто приведена только часть данных о фигуре, например, углы и диагонали, длина сторон, средняя линия и высота и т.д.

Формулы площади трапеции

Для каждого, или почти каждого случая найдены готовые формулы, в которые остается только подставить числовые данные, чтобы найти площадь произвольной трапеции. Рассмотрим самые распространенные случаи.

Самый простой способ вычисления площади — по длине оснований и высоте. Зная эти величины, используем формулу S = 1/2(a + b)*h. Сначала найдем сумму длин оснований, затем разделим на два и умножим на высоту. Именно такой порядок действий даст желаемый результат. На практике, когда, например, нужно найти площадь трапециевидного земельного участка, используется чаще всего именно эта формула. Измерить длину оснований не сложно, как и высоту фигуры.

Вторая задача — как узнать площадь трапеции через длину средней линии. Вспомним, что длина этой линии равна половине суммы оснований. Фактически получаем ту же формулу, что и в предыдущем случае, только записываем ее по-другому S=mh, где m – длина средней линии.

Третья задача — как найти площадь трапеции через диагонали. Кроме длины диагоналей нужен еще и хотя бы один из углов между ними. Для определения площади достаточно умножить длины диагоналей между собой и затем на синус любого угла между ними. Эта задача не сложнее предыдущих, зная угол в градусах, найти синус можно по специальным таблицам.

Четвертая задача — как найти площадь трапеции, зная все стороны. Здесь все несколько труднее. Необходимо произвести ряд вычислений, не отличающихся большой сложностью, но занимающих некоторое время. Распишем процесс вычисления по алгоритму:

Отнять длину меньшего основания от большего;
Найти квадрат результата;
Найти квадраты длин боковых сторон;
Прибавить к квадрату разницы оснований квадрат одной стороны и отнять квадрат другой;
Разделить полученное число на удвоенный результат первого действия;
Найдите квадратный корень полученного числа;
Умножьте корень на ½ суммы оснований.

Все выглядит достаточно громоздко, но если воспользоваться готовой формулой, то не так и страшно.

Для равнобедренной трапеции формула упрощается:

Пятая задача — формула Герона для трапеции. S = (a + b)/4|a — b| · √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d). Здесь тоже задействовано все четыре стороны и Р – полупериметр. Наиболее распространенная ошибка, когда вместо полупериметра, то есть суммы длин сторон разделенной на 2, используют периметр.

Шестая задача — площадь трапеции через синус угла. Для решения этой задачи нужно знать длину оснований и синусы углов при нижнем основании. Формула выглядит так: S=2(b2−a2)⋅sin(α+β)sin(α)⋅sin(β). Для ее использование необходимы первичные знания по тригонометрии.

Седьмая задача — найти площадь трапеции, зная радиус вписанной окружности и длину оснований. Формула не представляет сложности S=r⋅(a+b)=1/2√a⋅b⋅(a+b), важно только не перепутать порядок действий.

Формул для трапеции значительно больше, но владея теми, которые названы выше, вы справитесь с любой задачей.