Логарифмы и логарифмические уравнения

Логарифмические уравнения и решение логарифмических уравнений входят в обязательный комплекс знаний и умений школьника, если он стремится сдать ЕГЭ по математике на высокий балл и поступить в ВУЗ, стать студентом. Рассмотрим, что же это такое — логарифм, логарифмические уравнения и как их решать.

Содержание

Логарифм — что это
Логарифмическая функция и ее график
Свойства логарифмов
История логарифмов
Вычисления Непера и Бригса
Где используются логарифмы
Решение логарифмических уравнений
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8

Логарифм — что это

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ по основанию $a$ ( $\log_{a}b$ =c)называется такой показатель степени $c$ =c)называется такой показатель степени $c$ , в которую нужно возвести $a$ , чтобы получить $b$ , чтобы получить $b$ (то есть $a^c=b$ ). При этом задаются ограничения: $a>0, a\neq 1, b>0$ ). При этом задаются ограничения: $a>0, a\neq 1, b>0$ . Значение $c$ логарифма может быть любым.

Вычислите:

$\log_{3}27$ , $\log_{\frac{1}{3}}27$ , $\log_{\frac{1}{3}}27$ .

1. Действуем по определению. Подберем степень, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

$3=\log_{3}27$ .

2. При возведении $(\frac{1}{3})^{-3}=27$ , значит $-3=\log_{\frac{1}{3}}27$ , значит $-3=\log_{\frac{1}{3}}27$ .

Ответ: 3; -3.

Изобретенные в 17 веке для ускорения вычислений, логарифмы значительно сократили время, необходимое для умножения многозначных чисел. Они были основными в числовой работе более 300 лет, пока совершенство механических вычислительных машин в конце 19 века и компьютеров в 20 веке не сделали их устаревшими для крупномасштабных вычислений. Однако натуральный логарифм (с основанием e ≅ 2.71828 и записываемый как ln n) продолжает оставаться одной из наиболее полезных функций в математике с приложениями к математическим моделям в физических и биологических науках.

Логарифмическая функция и ее график

Помня об ограничениях, построим по точкам графики логарифмической функция в разных случаях.

Пусть $y=log_{2} x$ . Подставим вместо $x$ . Подставим вместо $x$ разные числа и определим соответствующие значения переменной.

$x$	$\frac{1}{2}$	1	2	4
$y$	-1	0	1	2

Отметим координаты точек на плоскости и соединим их плавной линией.

Логарифмическая функция все время возрастает.

Такое поведение характерно для всех логарифмических функций с основанием больше единицы.

Пусть теперь $y=log_{\frac{1}{2}}x$ . Составим таблицу значений для этого случая.

$x$	$\frac{1}{2}$	1	2	4
$y$	1	0	-1	-2

Получим следующий график функции:

Все логарифмические функции с основанием от 0 до 1 убывают на всей области определения.

Графики всех логарифмических функций проходят через точку с координатами (1;0).

Особыми знаками принято обозначать логарифмы с основанием десять $\log_{10}b=lgb$ и логарифмы с натуральным основанием $\log_{e}b=lnb$ и логарифмы с натуральным основанием $\log_{e}b=lnb$ .

Свойства логарифмов

Для упрощения вычислений при работе с логарифмами полезно знать и уметь использовать основные свойства.

Логарифмы были быстро приняты учеными из-за различных полезных свойств, которые упростили долгие, утомительные вычисления.

В частности, ученые могли найти произведение двух чисел m и n, посмотрев логарифм каждого числа в специальной таблице, сложив логарифмы, а затем снова сверившись с таблицей, чтобы найти число с этим вычисленным логарифмом (известным как его антилогарифм). Выраженная в терминах обычных логарифмов, эта связь определяется как log m n = log m + log n.

Например, 100 × 1000 можно рассчитать, просмотрев логарифмы 100 по основанию 10 $lg100=2$ и 1000 $lg1000=3$ и 1000 $lg1000=3$ . Сложив логарифмы $lg100+lg1000=2+3=5$ , а затем найдя его антилогарифм (то есть число, стоящее под знаком логарифма, в данном случае 100000) в таблице.

Аналогично, задачи деления преобразуются в задачи вычитания с логарифмами: log m/n = log m — log n.

Это еще не все. Расчет степеней и корней может быть упрощен с использованием логарифмов. Логарифмы также могут быть преобразованы между любыми положительными основаниями (за исключением того, что 1 не может использоваться в качестве основания, поскольку все его степени равны 1).

В логарифмические таблицы обычно включались только логарифмы для чисел от 0 до 10. Чтобы получить логарифм некоторого числа вне этого диапазона, число было сначала записано в удобном виде как произведение его значащих цифр и его степени по основанию 10 —

например, 358 будет записано как 3,58 × 10²,

а 0,0046 будет записано как 4,6 × 10^-3.

Тогда логарифм значащих цифр — десятичная дробь между 0 и 1, известная как мантисса — будет найдена в таблице. Например, чтобы найти логарифм 358, можно посмотреть таблицу значений логарифмов 3,58 ≅ 0,55388. Следовательно, lg 358 = lg 3,58 + lg 100 = 0,55388 + 2 = 2,55388.

В примере числа с отрицательным показателем степени, такого как 0,0046, можно посмотреть lg 4,6 ≅ 0,66276. Следовательно, lg 0,0046 = lg 4,6 + lg 0,001 = 0,66276 — 3 = -2,33724.

История логарифмов

Изобретению логарифмов предшествовало сравнение арифметических и геометрических последовательностей.

В геометрической последовательности каждый член образует постоянное соотношение (знаменатель прогрессии) с предыдущим и последующим членами прогрессии: например,… 1/1000, 1/100, 1/10, 1, 10, 100, 1000… имеет общее отношение 10. В арифметической последовательности каждый последующий член отличается на константу, известную как разность прогрессии, например,… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3… имеет разность 1.

Обратите внимание, что геометрическая последовательность может быть записана в терминах ее общего отношения, для приведенной выше примерной геометрической последовательности:… 10⁻³, 10⁻², 10 ⁻¹, 10 0, 10¹, 10², 10³….

Умножение двух чисел в геометрической последовательности, скажем, 1/10 и 100, равно суммированию соответствующих показателей степеней с основанием 10: -1 и 2, чтобы получить 10¹ = 10. Таким образом, умножение преобразуется в сложение.

Однако первоначальное сравнение между двумя возможностями вычислений произведения не было основано на каком-либо явном использовании экспоненциальной записи: это было последующее развитие.

В 1620 году в Праге швейцарским математиком Йостом Бурги была опубликована первая таблица, основанная на концепции соотношения геометрических и арифметических последовательностей.

Шотландский математик Джон Непер опубликовал свое открытие логарифмов в 1614 году. Его целью было помочь в умножении величин, которые были связаны с вычислением синуса в прямоугольном треугольнике.

Вычисления Непера и Бригса

В сотрудничестве с английским математиком Генри Бригсом Непер приспособил свой логарифм к его современной форме. Для неперова логарифма сравнение будет происходить между точками, движущимися по градуированной прямой линии, точка L (для логарифма) движется равномерно от минус бесконечности до плюс бесконечности, точка Х (для синуса) движется от нуля до бесконечности со скоростью пропорционально его расстоянию от нуля. Кроме того, L равно нулю, когда X равно единице, и их скорость в этой точке равна.

Суть открытия Непера состоит в том, что он связал между собой арифметические и геометрические прогрессии — то есть умножение и возведение в степень значений точки X соответствуют сложению и умножению значений точки L соответственно. На практике удобно ограничивать движение L и X требованием, чтобы L = 1 при X = 10, в дополнение к условию, что X = 1 при L = 0. Это изменение привело к бригиану, или общему логарифму.

Непер умер в 1617 году, а Бригс продолжил расчеты в одиночку, опубликовав в 1624 году таблицу логарифмов, рассчитанную до 14 знаков после запятой для чисел от 1 до 20 000 и от 90 000 до 100 000. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги появилось только в 1857 году в Берлине.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов — логарифмические линейки были незаменимы в инженерных расчетах.

Современное определение логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли, а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Где используются логарифмы

Некоторые области науки, где применяются логарифмы:

Децибелы, используемые для измерения звукового давления, определяются с помощью логарифмов.
Шкала Рихтера, которая используется для измерения интенсивности землетрясений, определяется с помощью логарифмов
Значения pH в химии, которое используется для определения уровня кислотности вещества, также определяется с использованием понятия логарифма.
Когда две измеренные величины оказываются связанными степенной функцией, параметры функции могут быть оценены с использованием логарифмов.
Логарифмы могут быть использованы для решения уравнений, таких как 2^х = 3.

Решение логарифмических уравнений

Рассмотрим простейшие логарифмические уравнения и примеры их решения.

Задание 1

Решите уравнение log₅(x²+x)=log₅(x²+9)

Ответ:9

Решение: Так как основания логарифмов одинаковы, то числа, стоящие под знаком логарифмов — одинаковы:

$x^2+x=x^2+9$ ,

$x=9$

Задание 2

Решите уравнение log_x-5 49 = 2.

Если уравнение с логарифмами имеет более одного корня, в ответе укажите наибольший из них.

Ответ: 12

Решение:

(x – 5)² = 49;

x² – 10 x + 25 = 49;

x² – 10 x – 24 = 0;

a = 1 , b = -10, c = -24;

При х = –2 основание логарифма отрицательно (известно, что основание должно быть положительным). Решением является корень 12. Сделайте проверку.

Задание 3

Найдите корень уравнения log₂(4 – x) = 7.

Ответ:-124

Решение:

2⁷ = 4 – x;

128=4-х;

х = 4 – 128;

х = −124.

Задание 4

Найдите корень уравнения $3^{\log_{27}{(3x-2)}}=7$ .

Ответ: 115

Решение: 27=3³, тогда $3^{\log_{3^3}{(3x-2)}}=7$

или $3^{\frac {1}{3}\log_{3}{(3x-2)}}=7$ или $3^{\log_{3}{(3x-2)}^{\frac {1}{3}}}=7$ или $3^{\log_{3}{(3x-2)}^{\frac {1}{3}}}=7$ уравнения с логарифмами. По основному свойству логарифмов: при возведении числа в степень логарифма с таким же основанием, остается число, стоящее под знаком логарифма, то есть: $a^{\log_{a}b}=b$ . Тогда получим: $(3x-2)^{\frac {1}{3}}=7$ . Тогда получим: $(3x-2)^{\frac {1}{3}}=7$ .

Решая данное уравнение, получим: $3x-2=7^3$ ,

$3x-2=343$

$3x=345$ .

$x=\frac{345}{3}$

$x=115$

Задание 5

Решите уравнение log_x+725 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наименьший из них.

Ответ: -2

Решение: $\log_{x+7}25=2$ .

$x+7>0$ , $x>-7$ , $x>-7$ .

$(x+7)^2=25$

$x+7=5$ и $x+7=-5$ и $x+7=-5$

$x_1=-2$ и $x_2=-12$ и $x_2=-12$

Так как x должен быть больше -7, то корень $x_2=-12$ не подходит. И остается один единственный корень: $x_1=-2$ не подходит. И остается один единственный корень: $x_1=-2$ .

Таким образом, уже не важно — наибольший это корень или наименьший, он один подходит. Поэтому в ответе указываем его.

Задание 6

Решите уравнение log₂(2 – x) = log₂(2 – 3x) + 1

Ответ: x=0,4.

Решение: мы знаем, что $1=log_{a}{a}$ , тогда пусть в нашем случае $a=2$ , тогда пусть в нашем случае $a=2$ : $\log_{2}{(2-x)}=\log_{2}{(2-3x)}+\log_{2}2$ ,

применяя свойство сложения двух логарифмов с одинаковыми основаниями, получим:

$\log_{2}{(2-x)}=\log_{2}{(2-3x)\cdot 2}$

или

$\log_{2}{(2-x)}=\log_{2}{(4-6x)}$

$2-x=4-6x$

$5x=2$

$x=0,4$ .

Задание 7

Решите уравнение log₅(7 – x) = log₅(3 – x) + 1

Ответ: 2

Решение: мы знаем, что $1=log_{a}{a}$ , тогда пусть в нашем случае $a=5$ , тогда пусть в нашем случае $a=5$ : $\log_{5}{(7-x)}=\log_{5}{(3-x)}+\log_{5}{5}$ .

применяя свойство сложения двух логарифмов с одинаковыми основаниями, получим:

$\log_{5}{(7-x)}=\log_{5}{(3-x)\cdot 5}$

$\log_{5}{(7-x)}=\log_{5}{(15-5x)}$

$7-x=15-5x$

$4x=8$

$x=2$ .

Задание 8

Найдите корень уравнения $\log_{2}{(8-x)}=2\log_{2}{(4+x)}$

Ответ: x=-1

Решение:

$\log_{2}{(8-x)}=\log_{2}{(4+x)^2}$

$8-x=(4+x)^2$

$8-x=16+8x+x^2$

$x^2+9x+8=0$

$D=b^2-4ac=9^2-4\cdot1\cdot8=81-32=49$

$x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-9-7}{2}=\frac{-16}{2}=-8$

$x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-9+7}{2}=\frac{-2}{2}=-1$ .

так как у нас должно выполняться условие:

$\left\{ \begin{array}{rcl} 8-x>0\\ 4+x>0 \end{array} \right.$ , откуда $-4<x<8$ , откуда $-4<x<8$ , таким образом нам подходит только один корень $x=-1$ .

Итак, мы рассмотрели решение логарифмических уравнений с подробным решением каждого из них. Вы узнали, что такое логарифм, историю возникновения логарифма и имена ученых, которые схватили идею расчета произведения через сложение и изобрели логарифм, который на многие годы облегчил расчеты инженеров, строителей, ученых.