Признаки делимости

Говорят, что целое число a делится на натуральное число b, если существует такое целое число c, что выполняется равенство a = bc. В этом случае число b называют делителем числа a, а число a — кратным числу b.

Если числа делится на b, то пишут $a \vdots b$ .

Пример.

$72\vdots 4$ так как $72=4 \cdot 18$ так как $72=4 \cdot 18$

Свойства делимости чисел

Простые числа и составные числа.

Простые и составные числа

Число p $(p\ge 2)$ называется простым, если оно делится только на себя и на единицу.

Составными числами называются целые числа, имеющие больше двух различных делителей.

Пример.

Число 17 простое. Делители 17: 1, 17.

Число 9 составное. Делители 9: 1, 3, 9.

Единица не является ни простым, ни составным числом.

Два числа, наибольший делитель которых, равен 1, называются взаимно простыми.

Признаки делимости

Признак делимости на 2

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа есть число, которое делится на 2 (последняя цифра – образует четное число).

Например, число 124 делится на 2, так как 4 — четное число.

Признак делимости на 4

Число делится на 4 тогда и только тогда, когда последние две цифры числа дают число, которое делится на 4.

Пример: 132 делится на 4, потому что последние две цифры «3» и «2» образуют число 32, которое делится на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда последние три цифры в записи числа образуют число, которое делится на 8.

Пример, число 2192 делится на 8, поскольку последние три цифры «1», «9» и «2» образуют число 192, которое делится на 8. При рассмотрении задач надо иметь в виду, что число делящееся на 8, в свою очередь должно делится и на 4 и на 2 одновременно.

Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 3.

Пример: число 153 делится на 3, так как сумма чисел 1+3+5=9 делится на 3.

Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма чисел, образованных цифрами в записи числа, делится на 9.

Пример: число 198 делится на 9, поскольку сумма чисел 1+9+8=18 делится на 9.

Признак делимости на 5

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра в записи числа образует число, которое делится на 5 (последняя цифра 0 или 5).

Пример, число 165 делится на 5, так как заканчивается на 5.

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда последние две цифры в записи числа, образуют число, которое делится на 25.

Пример: число 125 делится на 25, так как последние две цифра «2» и «5» образуют число 25, которое делится на 25.

Следует помнить, что цифры не могут суммироваться, делиться и т.д. Цифры это такие значки, которыми записываются числа. И веса у них самих по себе не более чем у любого другого значка, как у смайлика. Но, если мы цифрой запишем число, то с числом мы уже можем проводить любые операции. Числа могут быть однозначные и двузначные, их бесконечное количество, но цифр для их записи всего 10. Не путайте понятия числа и цифры, не портите отношения с проверяющими ваши работы математиками.

Признак делимости на 11

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность суммы чисел, стоящих на нечетных местах в записи числа, и суммы чисел, стоящих на четных местах в записи числа, делится на 11. А также если сумма чисел стоящих на четных местах, делится на сумму чисел, стоящих на нечетных местах.

Пример 1.

123456789 делится на 3, так как 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45, а 45 делится на 3.

Пример 2.

1452 делится на 11, так как (1 + 5) – (4 + 2) делится на 11. Или 1+5=4+2.

Деление с остатком

Пусть a и b ≠ 0 – два целых числа. Разделить число a на число b с остатком – это значит найти такие числа c и d, что выполнены следующие условия:

От деления на b могут быть только остатки: 0, 1, 2, 3…, |b|-1.

Пример 1.

19 : 7 = 2 (ост. 5)

19 = 7 ∙ 2 + 5

Пример 2.

22 : (-3) = -7 (ост. 1).

22 = -3 ∙ (-7) + 1

Пример 3.

-22 : 3 = -8 (ост. 2)

-22 = 3 ∙ (-8) + 2

Теоремы

1) Сумма чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и сумма остатков чисел a и b при делении на число m.

2) Произведение чисел a и b даёт тот же остаток при делении на число m, что и произведение остатков чисел a и b при делении на число m.

Теперь рассмотрим конкретные задания из ЕГЭ на делимость

Задание №1

Найдите четырёхзначное число, которое делится на 33 и состоит только из цифр 1 и 2. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

Решение:

Если число делится на 33 то оно делиться на 11 и 3. Число делится на 11, если сумма цифр стоящих на четных позициях будет равна сумме цифр на нечетных позициях. Число делится на 3, если сумма цифр делится на 3.

Значит стоит чередовать 1 и 2 по 2 раза, причем если сложим 2 двойки и 2 единицы получим 6, значит, число будет делиться на 3. Получим число 1122.

Ответ: 1122

Задание №2

Найдите трёхзначное число, состоящее только из чётных цифр и кратное 9. В ответе укажите наименьшее из таких чисел.

Решение:

Если число должно делиться на 9, то и сумма цифр должна делиться на 9, наименьшее 9, но его нельзя представить как сумму 3 чётных цифр, рассмотрим 18, первой цифрой поставим 2 ( минимальное четное число), тогда на остальные 2 остается только 8 и 8, получим число 288.

Ответ: 288

Задание №3

Найдите трёхзначное число, которое при делении на 5 и 7 даёт равные ненулевые остатки, а вторая цифра этого числа равна сумме первой и третьей цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Число не должно оканчиваться на 0 или 5, так как в этом случае остаток от деления на 5 равен 0. Пусть вторая цифра в числе будет 4, тогда первая и третья цифры могут быть 1 и 3, получаем число 143. Проверяем:

1) 143:5=28 (Остаток 3)

2) 143:7=20 (Остаток 3)

Остатки равны, соответственно условие выполнено.

Аналогичными рассуждениями можно найти и другие числа: 176; 352; 561.

Ответ: 176

Задание №4

Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 7, если известно, что число содержит цифру 1, и квадрат этого числа делится на 25. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Если квадрат числа делится на 25, то само число должно делиться на 5. Признак делимости на 5: число делиться на 5, если его последняя цифра 0 или 5. У нас трехзначное число, пусть последняя цифра будет 5, а первая 1, вторая цифра должна быть такой, чтобы сумма цифр была равна 7. Сумма цифр уже 6, то есть вторая цифра должна быть равна 1. Получим число 115.

Аналогичными рассуждениями можно получить числа 160 и 610.

Ответ: 115

Задание №5

Найдите четырёхзначное число, кратное 9, но не кратное 6, произведение цифр которого равно 1960. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число делилось на 9, но не делилось на 6, оно должно быть нечетным.

Разложим 1960 на простые множители: 1960=2*2*2*5*7*7=8*5*7*7

Эти цифры обозначают числа, которые в сумме дают 27, значит число будет делиться на 9. Составим из этих цифр нечетное число, например: 7785.

Аналогичными рассуждениями (простой перестановкой цифр) можно получить другие числа.

Ответ: 7785

Задание №6

Сумма четырёх последовательных трёхзначных чисел равна 458. Найдите третье число.

Решение:

Все 4 числа приблизительно равны между собой, поэтому разделив 458 на 4 получаем 114 с остатком 2. Начинаем подбирать числа от 114.

114+115+116+117=462, это больше 458, начинаем считать от 113.

113+114+115+116=458, получили необходимую сумму. Третье число в данной последовательности равно 115.

Можно было решить альтернативно.

Пусть первое число равно n. Тогда следующие числа n+1, n+2, n+3.

Составим и решим уравнение:

n+n+1+n+2+n+3=458

4n=452

n=113

Тогда третье число 115.

Ответ: 115

Задание №7

Найдите трёхзначное число, у которого сумма цифр, стоящих на нечетных местах, кратна 5, а само число кратно 9. В ответе запишите наименьшее такое число.

Решение:

Так как число должно быть наименьшим, то будет подбирать цифры так, чтобы оно начиналось с минимальной цифры (1 и далее), и аналогично будем подбирать для всех разрядов.

Нечетные места это 1 и 3, чтобы сумма цифр на нечетных местах была кратна 5, она должна быть равна, 5, 10 или 15. Пусть она будет равна 5, в сумме 5 составляют числа 1 и 4. Тогда чтобы число делилось на 9 сумма цифр должна делиться на 9, то есть в нашем случае сумма цифр должна равняться 9. То есть, на 2 месте должна стоять цифра 4. Получим число 144.

Ответ: 144

Задание №8

Найдите трёхзначное число, делящееся на 9, если известно, что его цифры являются последовательными членами возрастающей арифметической прогрессии. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решение:

Чтобы число делилось на 9, необходимо чтобы сумма его цифр делилась на 9. А, учитывая, что его цифры должны являться членами возрастающей арифметической прогрессии, каждая цифра должна отличаться от предыдущей на одно и то же число.

Если разность прогрессии равна 1, получаем a, a+1, a+2. Сумма равна 3a+3.

3a+3=9,тогда a=2, а число 234

3a+3=18,тогда a=5, а число 567

Если разность прогрессии равна 2, получаем a, a+2, a+4. Сумма равна 3a+6.

3a+6=9,тогда a=1, а число 135

3a+6=18,тогда a=4, а число 468

3a+6=27, тогда а=7, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 3, получаем a, a+3, a+6. Сумма равна 3a+9.

3a+9=9,тогда a=0, не подходит

3a+9=18,тогда a=3, а число 369

3a+9=27,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Если разность прогрессии равна 4, получаем a, a+4, a+8. Сумма равна 3a+12.

3a+12=18,тогда a=6, но следующие члены уже больше 10, не подходит.

Ответ: 234 или 567, или 135, или 468, или 369.

Задание №9

Найдите четырёхзначное число, которое состоит только из цифр 0 и 2 и делится на 12.

Решение:

Чтобы число делилось на 12, оно должно делиться на 3 и 4. На 3 число делится, если сумма цифр делится на 3. А на 4 делится, если 2 последние цифры нули или образуют число, которое делится на 4.

Чтобы число делилось на 3, в нем должно быть три двойки (чтобы в сумме давали 6). Значит 0 только один, последние 2 цифры должны быть 20, чтобы полученное число делилось на 4. То есть получаем число 2220.

Ответ: 2220

Итак, мы подробно рассмотрели делимость чисел, признаки делимости чисел и поучились применять полученные знания в задании №19 базового уровня егэ по математике.

Читайте еще наши статьи: таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100.