Как разложить на множители квадратный трехчлен

Что такое квадратный трехчлен и как разложить на множители квадратный трехчлен.

Содержание

Квадратный трехчлен
Разложение на множители квадратного трехчлена
Краткая схема разложения на множители квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен

Квадратным трехчленом называют выражение вида

$ax^2+bx+c$

Разложить на множители квадратный трехчлен — это значит, записать его в виде произведения.

Разложение на множители квадратного трехчлена

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен используем следующее правило:

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ , где $x_1$ , где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$ .

Таким образом, нам нужно решить квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ и затем найденные корни подставить сюда: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ и затем найденные корни подставить сюда: $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Рассмотрим на примере: требуется разложить на множители квадратный трехчлен:

$3x^2+2x-5$

Решим уравнение: $3x^2+2x-5=0$ , находим дискриминант $D=2^2+4\cdot 5\cdot 3=64$ , находим дискриминант $D=2^2+4\cdot 5\cdot 3=64$ , тогда корни уравнения: $x_1=(-2-8)/6=-10/6$ и $x_2=(-2+8)/6=1$ и $x_2=(-2+8)/6=1$ , тогда по формуле разложения на множители получаем:

$3x^2+2x-5=3(x-x_1)(x-x_2)=3(x+10/6)(x-1)$

Давайте еще рассмотрим один пример: пусть требуется разложить на линейные множители квадратный трехчлен $2x^2+5x-28$ . Находим корни этого уравнения $2x^2+5x-28=0$ . Находим корни этого уравнения $2x^2+5x-28=0$ .

Находим дискриминант уравнения. Если вы забыли как найти дискриминант посмотрите здесь.

$D=5^2+28\cdot 2=81$ , отсюда корни уравнения $x_1=(-5+9)/4=1$ , отсюда корни уравнения $x_1=(-5+9)/4=1$ и $x_2=(-5-9)/4=-7/2$ . И разложение квадратного трехчлена на множители мы запишем так: $2(x-1)(x+7/2)$ . И разложение квадратного трехчлена на множители мы запишем так: $2(x-1)(x+7/2)$ .

Краткая схема разложения на множители квадратного трехчлена

Приравнять квадратный трехчлен к нулю. Получим квадратное уравнение.
Решим квадратное уравнение, найдем два корня.
Подставим корни в формулу $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$

Схема не сложная. Но иногда могут встречаться затруднения. Например — что если корень получился один, а не два. На самом деле в квадратном уравнении всегда два корня. Об этом нам «говорит» степень 2, над $x$ . Это означает, что если у вас дискриминант равен нулю, вы получаете не один корень, а два совпадающих друг с другом корня. И разложение на множители будет выглядеть так:

$ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_1)=a(x-(x_1)^2)$ .

Например: квадратный трехчлен $x^2-2x+1$ при равенстве нулю имеет два совпадающих корня $x_1=x_2=1$ при равенстве нулю имеет два совпадающих корня $x_1=x_2=1$ и раскладывать на множители мы будем его так

$x^2-2x+1=(x-1)(x-1)=(x-1)^2$ .

В дальнейшем, следует помнить — что в кубическом уравнении 3 корня, в биквадратном — 4. Сколько степеней в уравнении, столько и корней у него должно быть. Другое дело, что некоторые из них, и даже все, могут совпадать в значении. Геометрический смысл такого совпадения в том, что график кривой, которая описывается уравнением, будет лишь касаться оси $Ox$ .

Итак, давайте выполним следующее задание: нужно разложить на множители квадратных трехчлен $2x^2+3x-5$ .

Найдем корни уравнения $2x^2+3x-5=0$ . Для этого сначала найдем дискриминант $D=b^2-4ac=3^2-4 \cdot 2 \cdot (-5)= 9+40=49=7^2$ . Для этого сначала найдем дискриминант $D=b^2-4ac=3^2-4 \cdot 2 \cdot (-5)= 9+40=49=7^2$ .

Тогда корни уравнения: $x_1=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-7}{4}=\frac{-10}{4}=-2,5$ . И $x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+7}{4}=\frac{4}{4}=1$ . И $x_2=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+7}{4}=\frac{4}{4}=1$ .