Основная теорема алгебры

Фундаментальная теорема алгебры (FTA) гласит, что многочлен n-й степени над комплексными числами имеет n корней. Теорема обычно представлена в школьной алгебре, но не доказана в старшей школе и не доказана с помощью алгебры! Специалист по математике может увидеть доказательство в середине учебы в колледже.
Скорее всего, вы увидите доказательство фундаментальной теоремы алгебры в курсе комплексного анализа. Это потому, что FTA зависит от аналитических свойств комплексных чисел, а не только от их алгебраических свойств. Это теорема существования, которая зависит от топологической полноты комплексных чисел, и поэтому ее нельзя доказать только на основании алгебраических свойств комплексных чисел.
Разделительные линии между областями математики, например между алгеброй и анализом, не всегда объективны или даже полезны. И по какой-то странной причине некоторые люди начинают беспокоиться о том, что и где принадлежит. Но категоризация математических предметов подразумевается при создании. Каталоги курсов помещают доказательство FTA в программу курсов комплексного анализа, иногда курсов топологии, но не курсов алгебры.
Гаусс предложил доказательство FTA в 1799 году, но его доказательство было ошибочным, потому что он неявно предполагал теорему о кривой Жордана, кажущуюся очевидной теорему, которая не была строго доказана до 1911 года.
Доказательство FTA с использованием комплексного анализа является быстрым следствием теоремы Лиувилля: если функция аналитична всюду на комплексной плоскости и ограничена, то она должна быть постоянной. Предположим, что непостоянный многочлен p (z) нигде не равен нулю. Тогда 1 / p (z) аналитична всюду на комплексной плоскости. И он должен быть ограничен, потому что p (z) при | z | . Получили противоречие, поэтому p (z) должен быть равен нулю для некоторого z.
Обычное утверждение FTA гласит, что многочлен n-й степени имеет n корней, но приведенное выше доказательство говорит, что он должен иметь один корень. Но оттуда вы можете начать свой путь к полному результату. Аналитик говорит алгебраисту: «Я сделал за вас самую сложную часть работы. Вы можете взять это оттуда ».
В некотором смысле остальная часть теоремы принадлежит алгебре, потому что учет того, как считать нули, — это скорее алгебраический вопрос. Чтобы у каждого многочлена n-й степени было ровно n корней, некоторые корни должны быть подсчитаны более одного раза. Например, (z — 42) имеет двойной корень в 42. Со строго аналитической точки зрения есть одна точка, где (z — 42) равно нулю, а именно в z = 42, но это полезно даже для аналитики, считают это двойным корнем.
Это может показаться педантичным или даже оруэлловским, так что можно сказать, что одни корни имеют большее значение, чем другие. Но многие теоремы легче сформулировать, если мы договоримся считать корни по их кратности. Эта идея получила дальнейшее развитие в алгебраической геометрии. Например, теорема Безу гласит, что если X — кривая m-й степени, а Y — кривая n-й степени, то X и Y пересекаются в mn точках. Чтобы эта теорема имела такое простое утверждение, требуется много подготовительной работы. Вы должны подсчитывать пересечения с кратностью и добавлять точки на бесконечности.
Теорема Лиувилля полезна не только для доказательства FTA. Это также полезно при изучении эллиптических функций. Лиувилль доказал свою теорему для этой цели. Если аналитическая функция периодична в двух различных направлениях на комплексной плоскости, она должна иметь особенность, потому что в противном случае это было бы ограничено.
Соглашение о свободной торговле может показаться менее глубоким, чем оно есть на самом деле. Вы можете возразить, что, конечно, каждый многочлен n-й степени имеет n корней: вы обманули, добавив нужные корни. Но это неправда. Комплексные числа создаются путем добавления одного корня к одному конкретному многочлену, а именно z2 = -1. Впечатляющая часть состоит в том, что добавления одного корня одного конкретного квадратичного многочлена достаточно, чтобы заставить все квадратичные многочлены и даже все многочлены более высокой степени также иметь корни.
Этого не происходит в конечных полях. Конечное поле не может быть алгебраически полным. Если вы расширите конечное поле так, чтобы каждое квадратное уравнение имело корень, то только квадратные уравнения имеют корни. Из этого не следует, что, например, кубические многочлены имеют корни. Вы можете расширить его так, чтобы все кубические уравнения имели корни, но тогда не все многочлены 4-й степени будут иметь корни. Если вы остановите процесс расширения после любого конечного числа шагов, останутся полиномы без корней.