Тригонометрические функции и формулы

Решающую роль в решении задач на тригонометрию играет знание определений тригонометрических функций.

Содержание

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Как найти синус, косинус, тангенс, котангенс в треугольнике
Формулы

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и угол A в нем.

Синус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Как найти синус, косинус, тангенс, котангенс в треугольнике

В треугольнике ABC c углом С, равным 90°, гипотенуза AB = 17, а катет AC = 15.

Нужно найти синус, косинус, тангенс, котангенс в данном треугольнике.

Найдем синус угла B:

$\sin{B}=\frac{AC}{AB}=\frac{15}{17}$

Чтобы найти косинус угла B, необходимо значение прилежащего катета — BC, которое нам пока неизвестно. Из Пифагоровой тройки 8 : 15 : 17 находим BC = 8.

$\cos{B}=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17}$

Найдем тангенс угла B:

$\tg{B}=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{15}$

Найдем котангенс угла B:

$\ctg{B}=\frac{AC}{BC}=\frac{15}{8}$ .

Найдем синус угла A:

$\sin{A}=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{17}$ ,

Заметим, что $\sin{A}=\cos{B}$ . Аналогично, получим:

$\cos{A}=\sin{B}, tgB=ctgA, tgA=ctgB$ .

Можно запомнить эту закономерность. Это происходит, потому что $\angle{A}+\angle{B}=90^{0}$ и тут вступают в силу формулы приведения, которые более подробно будут в дальнейшем разобраны.

Тригонометрические функции — безразмерные величины.

Важно понимать, что тригонометрические функции — это безразмерные величины(не имеют единиц измерения), они показывают только отношение.

К примеру, если для треугольника ABC известно, что $sinB=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , это не значит, что противолежащий углу B катет AC равен $\sqrt{3}$ , это не значит, что противолежащий углу B катет AC равен $\sqrt{3}$ , а гипотенуза AB равна 2. Это значит, что противолежащий катет AC относится к гипотенузе AB как $\sqrt{3}$ к 2.

И если бы нам была известна одна из длин: либо катет AC, либо гипотенуза AB — то, зная синус угла B, мы могли бы найти вторую сторону.

Формулы

В ЕГЭ тригонометрия формулы имеет простые. Нет сложных задач, не нужно доказывать тригонометрические тождества и решать тригонометрические неравенства.

Приведем основные формулы по тригонометрии.

Это, конечно, основное тригонометрическое тождество:

$sin^2 A+ cos^2 A=1$ . На самом деле, если мы посмотрим на треугольник и на те выражения, которые мы записали для синуса и косинуса одного угла в нем, то получим: